Il perimetro di un parallelogramma è 22 cm, calcola le lunghezze dei suoi lati sapendo che sono due numeri consecutivi.
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Il perimetro di un parallelogramma è 22 cm, calcola le lunghezze dei suoi lati sapendo che sono due numeri consecutivi.
PROGRAMMA DI SCIENZE MATEMATICHE, CHIMICHE, FISICHE E NATURALI
MATEMATICA
ALGEBRA
I numeri relativi: Gli insiemi Z, Q, R. La rappresentazione grafica dei numeri relativi. Le quattro operazioni con i numeri relativi. Le potenze e le radici con i numeri relativi. Le proprietà delle operazioni; espressioni con i numeri relativi.
Il calcolo letterale: Uso di lettere per indicare numeri. Espressioni algebriche letterali e monomi, le operazioni con i monomi. I polinomi, le operazioni con i polinomi. I prodotti notevoli: quadrato di un binomio, somma per la differenza.
Identità ed equazioni: Le equazioni. I principi di equivalenza e le relative conseguenze. Forma normale di una equazione. Risoluzione di un’equazione di 1° grado; discussione di un’equazione, verifica di un’equazione.
Rilevamenti statistici
La statistica, le fasi dell’indagine statistica, il rilevamento dati. Frequenze. Elaborazione dati. Media aritmetica, mediana, moda. Rappresentazione dei dati. Interpretazione dei dati.
CALCOLO DELLE probabilità
Avvenimenti casuali o eventi aleatori. Concetto di probabilità; probabilità di un evento aleatorio. Eventi aleatori incompatibili e compatibili.
GEOMETRIA
Circonferenza e cerchio: Poligoni inscritti e circoscritti. Lunghezza della circonferenza. Area del cerchio.
Figure geometriche nello spazio: Le tre dimensioni, rette e piani nello spazio. L'angolo diedro. I solidi: i poliedri, la relazione di Eulero, sviluppo di un poliedro, i poliedri regolari, i prismi (parallelepipedi, cubi) e le piramidi; i solidi di rotazione: cilindro e cono; misure relative ad un solido; equivalenza di solidi. Calcolo dell'area di superficie laterale, totale e del volume dei solidi studiati.
Geometria analitica
Il piano cartesiano ed i suoi elementi. Distanza fra due punti. Misura delle distanze fra due punti. Coordinate del punto medio di un segmento. Rappresentazione e studio di poligoni nel piano cartesiano. La retta nel piano cartesiano. Punti d’intersezione di una retta con gli assi cartesiani. Punto d’intersezione di due rette (solo grafica). Rette parallele agli assi; rette parallele. Rette perpendicolari agli assi; rette perpendicolari.
SCIENZE
Genetica ed ereditarietà: Differenza fra riproduzione sessuata e asessuata, fra meiosi e mitosi. Le fasi della mitosi e della meiosi. Il DNA e la sua duplicazione. Le mutazioni del DNA. Le leggi di Mendel. Elementi di genetica umana. Malattie ereditarie legate al sesso, le mutazioni.
Il corpo umano: L’apparato riproduttore maschile e femminile. Le fasi della fecondazione, le fasi dello sviluppo embrionale.
Educazione alla salute relativa ai temi trattati.
La Terra e i suoi ambienti: Il tempo e il clima; i problemi ambientali; il protocollo di Kyoto.
Astronomia: le principali teorie sulla nascita ed evoluzione dell'universo. Le principali caratteristiche dei pianeti e delle stelle, in particolare del Sole; la posizione della Terra entro il Sistema Solare. La Legge di gravitazione universale; le leggi di Keplero.
La terra nello spazio: la forma della Terra; i moti della Terra e le loro conseguenze. Le principali caratteristiche della Luna, i suoi moti e le loro conseguenze, le fasi lunari, le eclissi di Luna e di Sole.
" riunisce tutti coloro che fanno parte della filiera alimentare per difendere insieme agricoltura, pesca e allevamento sostenibili e per preservare il gusto e la biodiversità del cibo."
Sia in classe che nel post precedente, si parla di grandezze vettoriali. Vi riporto, quindi, le due definizioni relative ai due tipi di grandezze, nonchè quella di vettore. Infine, alcuni appunti e un Applet relativi alla somma di vettori.
Una grandezza fisica si dice scalare quando e' esaustivamente misurata da una unico valore (e relativa unita' di misura). Sono grandezze scalari una distanza (spazio), identificata dalla sua lunghezza in metri; oppure la massa (da non confondere con il PESO !) che e' misurata dal suo valore in Kg. Una grandezza fisica si dice vettoriale quando e' esaustivamente individuta da un vettore come definito sotto.
Un vettore e' definito da : Intensita', direzione, verso e punto di applicazione. Un esempio di grandezze vettoriali e' la FORZA. Nell'applet sottostante, sono indicati i 4 valori che definiscono il vettore disegnato. N.B. Un vettore (il vettore U nel disegno) si indica con una freccia orientata sopra il nome del vettore stesso.
(Applet realizzata con Geogebra)Due o piu' vettori sommati, danno luogo ad un altro vettore, detto risultante. La risultante di due vettori e' spiegata graficamente con la regola del parallelogramma. Il procedimento matematico e' intuitivo. I due vettori, ovviamente, per generare la risultante, devono avere stesso punto di applicazione.
Se dobbiamo definire una grandezza fisica, tipo la velocità, possiamo dire che: è la grandezza che indica quanto spazio riusciamo a percorrere in un determinato tempo
oppure:
è la misura della rapidita' con cui un corpo si sposta da un punto ad un altro di un sistema di riferimento;
etc etc..
Nel caso della FORZA non e' possibile utilizzare altre grandezze o ricavare una definizione diretta.
Possiamo dire che , se prendiamo in mano un mattone e lo solleviamo, abbiamo applicato una forza (la nostra).
Oppure che, per rompere un vetro con un pugno, ancora una volta abbiamo applicato una FORZA.
Da quanto detto si evince che la FORZA puo' essere definita tramite gli effetti che produce, cioe' non esiste una definizione diretta del concetto di FORZA, e' una di quelle grandezze che per essere definita, necessita di:
Definizione indiretta.
In particolare, possiamo dire che una FORZA applicata ad un corpo, puo' produrre (sul corpo stesso) due tipi di effetti:
1) Effetto dinamico. Cioe' variazione dello stato di quiete o di moto del corpo.
Es.: Se spingiamo una automobile inizialmente ferma (e non frenata !), questa iniziera' a muoversi con una certa velocita' V1. La nostra forza ha cambiato la sua velocita' da V0=0 a V1 <> 0. Quindi abbiamo impresso una accelerazione alla automobile.
Questo richiama il secondo principio della dinamica F = m * a → a = F / m.
2) Effetto deformante. Cioe' una Forza (di intensita' sufficiente) applicata ad un corpo cambia la struttura fisica del corpo stesso.
Es.: Se ad una molla appendiamo un Peso (inutile ricordare che il Peso e' una Forza), la molla stessa subisce una deformazione. Il Peso ha cambiato la sua forma.
La Forza e' una grandezza vettoriale.
Quando parliamo operativamente di una Forza , dobbiamo conoscere la sua intensita' (in Newton), ma anche il punto in cui viene applicata, la direzione di applicazione e il verso lungo questa direzione. Detto questo, risulta chiaro che la Forza e' una grandezza vettoriale.
L'operazione di "elevamento a potenza",ab viene definita gradualmente, in relazione al tipo di numero "b" che figura come esponente: inizialmente si definisce ab nel caso in cui "b" è un numero intero positivo; poi (aggiungendo la condizione a>0) la definizione viene estesa ad esponenti di altra natura: zero, numeri negativi, frazioni ed anche numeri irrazionali.
Nel caso di "b" numero intero positivo, ab viene definita come una "moltiplicazione ripetuta": ab è per definizione il prodotto di "b" fattori uguali ad "a". Per esempio 53 = 5*5*5. Questo ricorda da vicino il modo in cui si definisce la moltiplicazione fra numeri interi come "addizione ripetuta":a+b, con "b" numero intero positivo, è la somma di "b" addendi uguali ad "a"; per esempo, 5*3 = 5+5+5.
La potenza con esponenti interi positivi manifesta immediatamente alcune importanti proprietà; le due principali sono le seguenti:
1) am * a n=am+n
cioè: il prodotto di due potenze con la stessa base è la potenza che ha la medesima base, e come esponente la somma dei due esponenti precedenti. Per esempio, 72*73= 72+3, come si verifica facilmente in base alla definizione data di questo tipo di potenze.
2) am:an=am-n (per ora, limitatamente al caso in cui sia m>n)
cioè: il rapporto di due potenze con la stessa base è la potenza che ha la medesima base, e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e quello del divisore, quest'ultimo supposto minore del primo. Per esempio,57:54=53 , come si verifica facilmente in base alla definizione data di questo tipo di potenze.
Le proprietà 1) e 2), fino a questo momento, valgono soltanto quando tutti gli esponenti che appaiono sono numeri interi positivi; non potrebbe essere altrimenti, perché solo per tali esponenti abbiamo sino a qui definito le potenze, come "moltiplicazioni ripetute".
Ebbene, queste proprietà sono fondamentali per ogni applicazione delle potenze. È quindi opportuno che, quando si estende la definizione di potenza al caso di altri esponenti, oltre agli interi positivi, si diano definizioni tali da mantenere la validità delle regole 1) e 2). Nel caso dell'esponente uguale a zero (e base "a" diversa da zero) tali regole continuano a valere soltanto se si assegna valore 1 alla potenza a0.
Infatti, se desideriamo che valga la 1) quando, per esempio, n=0, dovremo fare in modo che sia
am* a n=am+n
Ma è m+ 0= m; quindi quanto scritto sopra equivale a
am* a n=am
Quest'ultima relazione vale soltanto se a0 = 1; questa è già una buona ragione per definire a0 = 1.
La scelta di definire a0 = 1 è provvidenziale anche per la 2): questa, scritta nel caso m=n (fino a qui escluso) dice che
am:an=am-n , cioè
am:an=am
Evidentemente l'espressione a sinistra dell'uguale vale 1, perché si ottiene dividendo un numero per se stesso; l'uguaglianza ivi scritta sussiste dunque soltanto se a0=1.
Queste considerazioni, si badi bene, non "dimostrano" che a0 = 1, perché non c'è una regola pre-esistente che definisce a0, così da metterci in condizione di fare calcoli per scoprire quanto vale. All'espressione a0 potremmo quindi attribuire il valore che più ci piace; le riflessioni su esposte mostrano che 1 è il valore più opportuno che possiamo assegnare all'espressione a0.
Le potenze servono (fra l'altro) per descrivere fenomeni detti "a crescita esponenziale". Per esempio, immaginiamo di sapere che, grazie alla sua abilità negli affari, Paperon dè Paperoni riesca a raddoppiare ogni anno il suo patrimonio. Se oggi Paperone possiede "a" dollari, ne possiede b = a *2 tra 1 anno
a * (2 * 2) cioè a * 22 tra 2 anni
a * (2 * 2* 2) cioè a * 23 tra 3 anni
..... a * 2n tra "n" anni, in generale.
Ebbene, quest'ultima formula fornisce il risultato esatto anche per il momento attuale, grazie alla posizione a0=1. Il patrimonio attuale (cioè, "fra 0 anni") di Paperone risulta in base alla formula su scritta ammontare proprio a dollari
a * 20= a,
perché 20 = 1, per definizione.
Motivazioni dello stesso tipo di quelle esposte riguardo ad a0 inducono a definire in un determinato modo e non in altri il valore di a0 quando l'esponente "b" è un intero negativo: se "n" è un intero positivo, si definisce
a-n=1/an
Non insistiamo ora su questo, per non uscire dal tema proposto. Segnaliamo invece che non c'è alcun modo "utile" per definire 00: l'espressione 00 è indeterminata, cioè priva di senso.