Riflessioni sulle potenze

Vi riporto un articolo del Prof. Paolo Negrini (Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna), intitolato Perchè a°= 1?, che può esservi utile per ripassare alcuni dei concetti basilari sulle potenze: dovreste ritrovarvi alcune cose dette in classe nel corso di questi tre anni.
Buon ripasso.

L'operazione di "elevamento a potenza",a^b viene definita gradualmente, in relazione al tipo di numero "b" che figura come esponente: inizialmente si definisce a^b nel caso in cui "b" è un numero intero positivo; poi (aggiungendo la condizione a>0) la definizione viene estesa ad esponenti di altra natura: zero, numeri negativi, frazioni ed anche numeri irrazionali.

Nel caso di "b" numero intero positivo, a^b viene definita come una "moltiplicazione ripetuta": a^b è per definizione il prodotto di "b" fattori uguali ad "a". Per esempio 5³ = 5*5*5. Questo ricorda da vicino il modo in cui si definisce la moltiplicazione fra numeri interi come "addizione ripetuta":a+b, con "b" numero intero positivo, è la somma di "b" addendi uguali ad "a"; per esempo, 5*3 = 5+5+5.

La potenza con esponenti interi positivi manifesta immediatamente alcune importanti proprietà; le due principali sono le seguenti:

1) a^m * a ⁿ=a^m+n

cioè: il prodotto di due potenze con la stessa base è la potenza che ha la medesima base, e come esponente la somma dei due esponenti precedenti. Per esempio, 7²*7³= 7²⁺³, come si verifica facilmente in base alla definizione data di questo tipo di potenze.

2) a^m:aⁿ=a^m-n (per ora, limitatamente al caso in cui sia m>n)

cioè: il rapporto di due potenze con la stessa base è la potenza che ha la medesima base, e come esponente la differenza tra l'esponente del dividendo e quello del divisore, quest'ultimo supposto minore del primo. Per esempio,5⁷:5⁴=5³ , come si verifica facilmente in base alla definizione data di questo tipo di potenze.

Le proprietà 1) e 2), fino a questo momento, valgono soltanto quando tutti gli esponenti che appaiono sono numeri interi positivi; non potrebbe essere altrimenti, perché solo per tali esponenti abbiamo sino a qui definito le potenze, come "moltiplicazioni ripetute".

Ebbene, queste proprietà sono fondamentali per ogni applicazione delle potenze. È quindi opportuno che, quando si estende la definizione di potenza al caso di altri esponenti, oltre agli interi positivi, si diano definizioni tali da mantenere la validità delle regole 1) e 2). Nel caso dell'esponente uguale a zero (e base "a" diversa da zero) tali regole continuano a valere soltanto se si assegna valore 1 alla potenza a⁰.

Infatti, se desideriamo che valga la 1) quando, per esempio, n=0, dovremo fare in modo che sia

a^m* a ⁿ=a^m+n

Ma è m+ 0= m; quindi quanto scritto sopra equivale a

a^m* a ⁿ=a^m

Quest'ultima relazione vale soltanto se a⁰ = 1; questa è già una buona ragione per definire a⁰ = 1.

La scelta di definire a⁰ = 1 è provvidenziale anche per la 2): questa, scritta nel caso m=n (fino a qui escluso) dice che

a^m:aⁿ=a^m-n , cioè

a^m:aⁿ=a^m

Evidentemente l'espressione a sinistra dell'uguale vale 1, perché si ottiene dividendo un numero per se stesso; l'uguaglianza ivi scritta sussiste dunque soltanto se a⁰=1.

Queste considerazioni, si badi bene, non "dimostrano" che a⁰ = 1, perché non c'è una regola pre-esistente che definisce a⁰, così da metterci in condizione di fare calcoli per scoprire quanto vale. All'espressione a⁰ potremmo quindi attribuire il valore che più ci piace; le riflessioni su esposte mostrano che 1 è il valore più opportuno che possiamo assegnare all'espressione a⁰.

Le potenze servono (fra l'altro) per descrivere fenomeni detti "a crescita esponenziale". Per esempio, immaginiamo di sapere che, grazie alla sua abilità negli affari, Paperon dè Paperoni riesca a raddoppiare ogni anno il suo patrimonio. Se oggi Paperone possiede "a" dollari, ne possiede b = a *2 tra 1 anno

a * (2 * 2) cioè a * 2² tra 2 anni

a * (2 * 2* 2) cioè a * 2³ tra 3 anni

..... a * 2ⁿ tra "n" anni, in generale.

Ebbene, quest'ultima formula fornisce il risultato esatto anche per il momento attuale, grazie alla posizione a⁰=1. Il patrimonio attuale (cioè, "fra 0 anni") di Paperone risulta in base alla formula su scritta ammontare proprio a dollari

a * 2⁰= a,

perché 2⁰ = 1, per definizione.

Motivazioni dello stesso tipo di quelle esposte riguardo ad a⁰ inducono a definire in un determinato modo e non in altri il valore di a⁰ quando l'esponente "b" è un intero negativo: se "n" è un intero positivo, si definisce

a^-n=1/aⁿ

Non insistiamo ora su questo, per non uscire dal tema proposto. Segnaliamo invece che non c'è alcun modo "utile" per definire 0⁰: l'espressione 0⁰ è indeterminata, cioè priva di senso.